VOLUMENES SOLIDOS E ISOMETRICOS

PROYECCIONES Y PERSPERTIVAS

INTRODUCCION

La etimología de la palabra proyección viene del latín proiectio, de proficere; de pro=delante y facere=hacer.

La proyección es la representación gráfica de un objeto sobre una superficie plana, obtenida al unir las intersecciones sobre dicho plano de las líneas proyectantes de todos los puntos del objeto desde el vértice.

La información encontrada en la fuente de internet, especifica y aclara los conceptos de la axiometria y la isometría complementando el documento recibido por el Arquitecto Walter Yesid Martínez, intente desglosar lo más relevante del tema ya que  supervise y corregí algunos conceptos  para no repetir el primer documento anteriormente mencionado así que empiezo hablando de  los conceptos o definición de estos  y añado ciertas imágenes que pienso que se van a utilizar mucho en este corte  por eso voy a demostrar  como hace parte de nuestra clase de expresión  grafica o de dibujo técnico ya que estos se implementan en carreras como la arquitectura y el arte de visualizar y encontrar una percepción de los objetos, además nos sirve para nuestra ingeniería ya que hace parte de la geometría descriptiva así que empiezo hablando de su definición y sus inicios conociendo las raíces de estas, como llegaron al desarrollo, y como influyeron en la estructura actual de nuestro entorno.

PROYECCION ISOMETRICA

Una proyección isométrica es un método gráfico de representación, más específicamente una axonométrica¹ cilíndrica² ortogonal.³ Constituye una representación visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ángulos de 120º, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.

El término isométrico proviene del idioma griego: "igual medida", ya que la escala de medición es la misma en los tres ejes principales (x, y, z).

La isometría es una de las formas de proyección utilizadas en dibujo técnico que tiene la ventaja de permitir la representación a escala, y la desventaja de no reflejar la disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.

PERSPECTIVA

Según Leonardo da Vinci, la perspectiva es el freno y timón de la pintura.

La pintura se basa en la perspectiva, que no es otra cosa que un conocimiento perfecto de la función del ojo. Esta función consiste sencillamente en recibir en una pirámide las formas y colores de todos los objetos situados delante de él. Es una pirámide porque no hay objeto tan pequeño que no sea mayor que el punto donde estas pirámides son recibidas en el ojo. Por eso, si extendemos las líneas desde los bordes de cada cuerpo cuando convergen, las llevaremos a un solo punto, y dichas líneas tienen que formar necesariamente una pirámide.

Hay tres clases de perspectiva. La primera trata de las razones de la aparente disminución de los objetos cuando se alejan del ojo; es conocida como perspectiva de la disminución. La segunda trata de la forma en que varían los colores al alejarse del ojo. La tercera y última explica cómo aparecerían los objetos menos precisos cuanto más lejos se encuentren. Los nombres son los siguientes: perspectiva lineal, perspectiva de color y perspectiva de desaparición.

La ciencia de la pintura trata de los colores de las superficies corpóreas y de sus formas; de su relativa cercanía y distancia, y de los grados de disminución requeridos cuando aumentan gradualmente las distancias. Esta ciencia es la madre de la perspectiva, es decir, la ciencia de los rayos visuales.

Como se citó en el párrafo anterior, la perspectiva se divide en tres partes. La primera trata sólo del dibujo lineal de los cuerpos. La segunda, de cómo bajar el tono de los colores cuando se alejan a cierta distancia. La tercera, de la pérdida de claridad de los cuerpos a varias distancias. Ahora bien, la primera parte, que trata sólo de las líneas y limites de los cuerpos, se denomina dibujo, es decir, configuración de cualquier cuerpo. De ésta proviene otra ciencia que trata del sombreado y de la luz, llamada también claroscuro, que requiere una explicación detallada.

La perspectiva no es más que la visión de un lugar a través de un cristal liso y completamente transparente, sobre cuya superficie quedan grabadas todas las cosas que están detrás de aquél. Los objetos llegan al punto del ojo en forma de pirámides y éstas se entrecortan en el plano del cristal.

Colocando una hoja de papel no demasiado transparente entre un objeto y una luz podemos dibujarlo con facilidad.

Toda forma corporal que sea sensible al ojo tiene en si tres atributos: masa, forma y color. La masa puede apreciarse a mayor distancia que la forma y el color. El color, a su vez, es discernible a mayor distancia que la forma. Esta ley no es aplicable a los cuerpos luminosos.

Entre objetos de igual tamaño, el que está más lejos del ojo parecerá más pequeño.

Entre diversos cuerpos de igual tamaño y tono, el más lejano aparecerá más ligero y pequeño.

Entre diversos cuerpos, todos igualmente grandes y distantes, el que está más iluminado aparecerá al ojo más cercano y mayor.

Entre sombras de igual densidad, las más cercanas al ojo aparecerán mucho menos densas.

Un objeto oscuro aparecerá más azul cuanto más luminosa es la atmósfera entre él y el ojo, como puede verse en el color del firmamento.

Todo rayo que pasa por aire de igual densidad corre en línea recta desde su origen hasta el objeto o lugar que toca. El aire está lleno de infinitas líneas rectas y radiantes entrelazadas e interferidas unas con otras, sin que ninguna ocupe el lugar de la otra. Estas líneas representan en cualquier objeto la verdadera forma de su causa originante.

La atmósfera está llena de infinitas pirámides radiantes producidas por los objetos que existen en ella. Estas se entrecruzan unas con otras con convergencia independiente, sin interferencia entre ellas y pasando por toda la atmósfera circundante.

El plano vertical se representa por una línea perpendicular que nos la imaginamos situada enfrente del punto común donde tiene lugar la confluencia de la pirámide. Este plano guarda la misma relación con ese punto que la de un plano de cristal en el que se dibujaron los distintos objetos vistos a través de él. Los objetos así dibujados serían mucho más pequeños que los originales, puesto que el espacio entre el cristal y el ojo era más pequeño que el espacio entre el cristal y los objetos.

Si el ojo se encuentra en medio de dos caballos en carrera hacia su meta por pistas paralelas, parecerá como si estuvieran corriendo para encontrarse el uno al otro. Esto, como ya hemos dicho, ocurre porque las imágenes de los caballos que se imprimen en el ojo se mueven hacia el centro de la superficie de la pupila del ojo.

Esto mismo puede comprenderse con gran facilidad respecto al punto del ojo, ya que si miramos al ojo de alguien se ve nuestra propia imagen en él.

ISOMETRIA

El conjunto de todas las aplicaciones que son isometrías de un conjunto contenido en un espacio métrico forma un grupo conocido como grupo de isometría del conjunto. En un espacio elucídelo de dimensión n el grupo de isometría de cualquier conjunto es un subgrupo del grupo producto formado a partir del grupo ortogonal y el grupo de traslacionesK

Una proyección isométrico es un método gráfico de representación, más específicamente una axonométrica^[1] cilíndrica^[2] ortogonal.^[3] Constituye una representación visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ángulos de 120º, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.
La isometría es una de las formas de proyección utilizadas en dibujo técnico que tiene la ventaja de permitir la representación a escala, y la desventaja de no reflejar la disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.

Isometría o movimiento

Movimiento o isometría en el plano es una transformación que conserva las distancias. Puede ser:

Movimiento directo

Cuando la figura original y la figura transformada por el movimiento se pueden hacer coincidir sin salir del plano.

La representación

 más racional y en consecuencia la más utilizada en el Dibujo Técnico es la de un objeto o pieza en sus tres vistas: horizontal, lateral y vertical; y por medio de sus tres ejes. Es por ello que también es necesario señalar la importancia del dibujo isométrico y oblicuo ya que representan sistemas que expresan profundidad, altura y anchura.

 .

DIBUJO ISOMÉTRICO

  La palabra isométrico significa "de igual medida" y proviene del prefijo "isos" que significa igual y de la palabra métrico que expresa o significa "medida". 

Por ende, isométrico se refiere a aquel dibujo tridimensional que se ha realizado con los ejes inclinados formando un ángulo de 30° con la horizontal 

Una de las grandes ventajas del dibujo isométrico es que se puede realizar el dibujo de cualquier modelo sin utilizar ninguna escala especial, ya que las líneas paralelas a los ejes se toman en su verdadera magnitud. Así por ejemplo, el cubo cuando lo dibujamos en forma isométrica queda con todas sus aristas de igual medida.

 EJES UTILIZADOS EN EL DIBUJO ISOMÉTRICO

 La base del dibujo isométrico es un sistema de tres ejes que se llaman "ejes isométricos “que representan a las tres aristas de un cubo, que forman entre sí ángulos de 120°

   LÍNEAS ISOMÉTRICAS

 Son aquellas líneas que son paralelas a cualquiera de los tres ejes isométricos

 LÍNEAS NO ISOMÉTRICAS 

Son aquellas líneas inclinadas sobre las cuales no se pueden medir distancias verdaderas; estas líneas cuando se encuentran presente en un dibujo isométrico no se hallan ni a lo largo de los ejes ni son paralelas a los mismos. 

Además las líneas no isométricas se dibujan tomando como puntos de referencia otros puntos pertenecientes a líneas isométricas.

 MODELOS REALIZADOS EN EL DIBUJO ISOMÉTRICO

- Dibujo isométrico de un cuadrado

 -Dibujo isométrico de una circunferencia

 -Dibujo isométrico de un arco

 -Dibujo isométrico de un sólido irregular

La perspectiva DIN-5, Es la norma que recomienda una perspectiva axonométrica ortogonal dimétrica especifica, que se caracteriza por formar 131º 25\\' entre los ejes XY y ZY, y 97º 10\\' entre XZ.

Los coeficientes de reducción sobre los ejes X y Z son 2·(raiz cuadrada de 2)/3 = 0\\'943, y en el eje Y es (raíz cuadrada de 2)/3 = 0\\'471; siendo la relación entre ellos cx = cz = 2·cy; o bien, ux : uy : uz = 1 : 1/2 : 1.

Debido a que los ángulos son difíciles de medir con un transportador se suelen dibujar trazando primero el eje Z en vertical, y sobre él una medida aleatoria (la unidad), a partir de ese segmento se hace un triangulo de lados la unidad y una vez y media la unidad.

El lado del triangulo formado con la unidad es el eje Y, mientras que el eje X es perpendicular al lado formado por una vez y media la unidad. A partir de su extremo.

En videojuegos

Cierto número de videojuegos pone en acción a sus personajes utilizando un punto de vista en perspectiva isométrica, o mejor dicho, en la jerga usual, en "perspectiva 3/4". Desde un ángulo práctico, ello permite desplazar los elementos gráficos sin modificar el tamaño, limitación inevitable para ordenadores con baja capacidad gráfica.

A fin de evitar el pixelado, en algunos casos se llevó la proyección a un sistema 2:1, vale decir a una inclinación de 26,6º (arctan 0,5) en lugar de 30º, que no corresponde a una proyección isométrica propiamente dicha, sino "dimétrica".

El progresivo incremento en las capacidades gráficas de los ordenadores ha posibilitado el uso cada vez más generalizado de sistemas de proyección más realistas, basados en la perspectiva naturalmente percibida por el ojo humano: la perspectiva cónica.

AXONOMETRIA

Perspectiva axonométrica

La perspectiva axonométrica es un sistema de representación gráfica, consistente en representar elementos geométricos o volúmenes en un plano, mediante proyección ortogonal, referida a tres ejes ortogonales, de tal forma que conserven su proporciones en las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud.
La perspectiva axonometríca cumple dos propiedades importantes que la distinguen de la perspectiva cónica:

• La escala del objeto representado no depende de su distancia al observador (equivalente a que el observador estuviera en el infinito).
• Dos líneas paralelas en la realidad son también paralelas en su representación axonométrica.

Perspectiva axonometría: proporción de las medidas.

Los tres ejes del plano proyectante se dibujan así: el referente a la altura suele ser vertical, y los referentes a longitud y anchura pueden disponerse con cualquier ángulo. Los ejes del plano proyectante guardan entre sí 120º en la perspectiva isométrica, un caso particular de la perspectiva axonométrica. Si los ejes guardan entre sí 90º y 135º se denomina perspectiva caballera.
Para que el dibujo se parezca más a la realidad, se aplica a veces un coeficiente de reducción en las medidas paralelas a los ejes de anchura y longitud.

Proyección axonométrica

La proyección axonométrica es una proyección sobre un plano (Axonométrico) que tiene una posición arbitraria en el espacio. Si los rayos son perpendiculares al plano axonométrico, se trata de una proyección axonométrica ortogonal. Este sistema de proyección es muy similar a la manera de observar nosotros los objetos en el espacio, conservándose, sin embargo, todas las propiedades de la proyección cilíndrica (paralelismo, perpendicularidad).

Las proyecciones del plano axonométrico en el plano horizontal XY determina la recta XY cuya proyección es perpendicular al eje Z. en efecto: Ambas rectas (eje Z y XY) son ortogonales, la recta XY esta contenida en el plano axonométrico y la proyección axonométrica es una proyección ortogonal.

Coordenadas y escalas

En axonometría se pueden medir las coordenadas de los puntos sobre los ejes, tomando en cuenta la deformación correspondiente de estos. (De allí se deriva el nombre axonométrica que en griego significa medida sobre los ejes).

Cada eje tiene su escala predeterminada de acuerdo con el plano axonométrico y su respectiva dirección de los rayos de proyección. Todas las líneas paralelas al plano axonométrico se conservan en esta proyección en verdadero tamaño. Para determinar las escalas sobre los ejes, rebatimos estos sobre el plano axonométrico donde se deben proyectar en verdadero tamaño.

Para definir la proyección axonométrica basta fijar los ángulos bajo los ejes X, Y, Z, cuya suma debe ser 360º y ninguno puede ser 90º. También se puede definir mediante el triangulo axonométrico.

·         Trimetría: los tres ángulos son distintos, las tres escalas son distintas.

·         Bimetría:dos ángulos son iguales y dos escalas también son iguales (la escala distinta esta sobre el eje opuesto al ángulo distinto).

·         Isometría (Monometría): los tres ángulos son iguales a 120º, las tres escalas son también iguales.

  

Axonometría

Este sistema permite reconocer al objeto con mayor información en una sola imagen; cosa que no sucede con el sistema Monge.


Los rayos de proyección no concurren a un punto como en el sistema de proyecciones cónicas, sino que permanecen paralelos entre sí. La imagen resultante puede asemejarse a una perspectiva cónica realizada desde gran distancia.

El sistema se basa en representar las 3 direcciones dominantes del espacio (ancho, alto, profundidad) en un solo plano.
Los objetos de tipo prismático pueden adaptarse a los ejes. En caso de tratarse de formas más complejas, éstas deben encerrarse en formas prismáticas.


Cuando se trazan curvas, éstas indefectiblemente deben inscribirse en figuras ortogonales que las contengan.

Sistema Isométrico

En la Axonometría Isométrica los rayos de proyección son paralelos entre sí y perpendiculares al plano de proyección que tendrá una inclinación determinada con los ejes dominantes y ortogonales del espacio XYZ.


El Plano de Proyección será en el dibujo axonométrico, la hoja donde se representarán los objetos y los ejes X'Y'Z' serán los correspondientes de los ejes dominantes del espacio reales.


El Plano de Proyección se dispone con respecto a los ejes del espacio de manera tal que forma con éstos ángulos iguales, por lo tanto los ejes de la proyección Isométrica forman entre sí 120º.

Para simplificar en el dibujo axonométrico llamamos a los ejes del espacio nuevamente XYZ.

En el caso de representar un cubo en axonometría, se ven tres de sus caras al mismo tiempo.


Como se ha dicho los ángulos que forman entre sí los ejes X, Y y Z, representativos de las direcciones dominantes del espacio, son iguales y de 120º cada uno.

Por ser los rayos proyectantes ortogonales al plano de proyección y éste determinar ángulos iguales con respecto a los ejes coordenados del espacio, las medidas se llevan a los tres ejes de la proyección XYZ, sin sufrir ninguna modificación.


Disposición de los instrumentos de dibujo para el trazado de la Axonometría Isométrica.

AXONOMETRIA Y FIGURAS AXONOMETRICAS

·         DEFINICION DE AXONOMETRIA

Es la parte de la geometría descriptiva que estudia el sistema de representación de figuras espaciales en un plano por medio de proyecciones obtenidas según tres ejes.

·         CARACTERISTICA PRINCIPAL

la axonometría conserva el paralelismo entre rectas.

·         CLASIFICACION

Axonometría oblicua: Perspectiva caballera. (horizontal y frontal) de conjuntos simples.

Axonometría ortogonal: Perspectivas isométricas en posición isométrica y no isométrica de los mismos temas.

EL SISTEMA AXONOMÉTRICO

El sistema axonométrico tiene como base de referencia un triedro trirrectángulo. Este triedro está formado por tres planos que son perpendiculares entre sí. Para representar un objeto en este sistema, se le ha de situar dentro del espacio que comprende el triedro, con una proyección cilíndrica sobre el plano de representación. De esta manera obtendremos una imagen en perspectiva del sólido, además de la representación de la tres aristas o ejes del triedro.
Como se aprecia en la figura, la imagen del cubo que se ha obtenido al aplicar el proceso descrito anteriormente es algo diferente de la imagen real de éste. No obstante, el poliedro está definido con la suficiente precisión como para comprender su configuración volumétrica y sus características formales.

FIGURA 1

·         TIPOS DE PROYECCIONES CILINDRICAS EN EL SISTEMA AXONOMETRICO

El concepto de proyección determina el proceso por el que se obtiene una imagen sobre un plano de la figura bidimensional o tridimensional situada en el espacio. Por tanto, las proyecciones cilíndricas son aquéllas que consisten en trazar rayos proyectantes paralelos entre sí por los puntos más significativos de las figuras hasta cortar el plano del dibujo.
El sistema axonométrico está conformado por dos grandes bloques de perspectivas axonométricas:

·         La primera de ellas, la axonometría ortogonal, se denomina así por estar basada en una proyección cilíndrica ortogonal.

·         La segunda, la axonometría oblicua, se fundamenta en una proyección cilíndrica oblicua.

·         FUNDAMENTOS DEL SISTEMA AXONOMÉTRICO ORTOGONAL

Las proyecciones en el plano del dibujo de las aristas del triedro (XYZ), también llamadas ejes, resultan al proyectar ortogonalmente todos los puntos que forman dichos ejes. Para ello, se hallan los puntos de intersección de éstos con el plano del cuadro del dibujo, con lo que se obtienen los puntos A, B, C. Uniéndolos con el punto O', proyección ortogonal de O, donde se cortan los ejes axonométricos, tendremos las proyecciones de los ejes, y si, además, unimos los puntos traza (A, B, C) entre sí, determinaremos el triángulo fundamental de las trazas.
Cuando se proyecta un objeto en este sistema, sus magnitudes varían; la razón existente entre el tamaño de un objeto real y su imagen proyectada se denomina coeficiente de reducción. Cuando no se utiliza este coeficiente, se dice que se está realizando un dibujo isométrico; sin embargo, cuando se aplica, se obtiene una perspectiva isométrica.

·         TIPOS DE AXONOMETRIA OCTOGENAL

Al proyectar los ejes axonométricos (X, Y, Z) sobre el plano del dibujo, forman entre sí los ángulos ,  y , cuyos valores difieren dependiendo de la posición que estos ejes tengan respecto al plano. Las diferencias de ángulos generan las tres axonometrías siguientes:

·         Perspectiva isométrica, los tres ángulos ,  y , son iguales. El coeficiente de reducción es el mismo para los tres ejes.

·         Perspectiva dimétrica, dos ángulos son iguales y otro es distinto; por tanto, dos coeficientes de reducción son iguales y el otro desigual.

·         Perspectiva trimétrica, todos los ángulos son diferentes, al igual que los coeficientes de reducción.

·         TRAZADO DE SÓLIDOS

Para representar sólidos en perspectiva isométrica, conviene partir de los datos más significativos del cuerpo volumétrico. Esta información suele venir dada por el sistema diédrico mediante sus representaciones en planta, alzado y vista lateral.
Para pasar de la representación de un cuerpo en el sistema diédrico a perspectiva isométrica es importante que su posición no varíe en el cambio. Para ello, se debe representar la situación del cuerpo respecto a los planos de proyección. Por tanto, los ejes isométricos tendrán que coincidir con el sistema de coordenadas de la representación diédrica.
En la representación del sólido que ves a continuación puedes observar el proceso de elaboración que se ha seguido para llegar a su perspectiva isométrica partiendo de su representación en el sistema diédrico.
1.      Se hacen proyecciones en el sistema diédrico de un sólido.
2.      Se dibuja un sistema de ejes coordenados para situar los puntos 1, 2, 3,....., y 9 de la base del sólido.
3.      Las coordenadas pasan a ser los ejes isométricos. Se transportan las medidas tomadas en las proyecciones diédricas al dibujo isométrico.
4.      Se llevan a las aristas laterales del sólido sus correspondientes alturas y se completa su trazado.

·         LA PERSPECTIVA CABALLERA

La perspectiva que se obtiene al proyectar un punto, figura plana o cuerpo volumétrico del espacio en el plano del cuadro o del dibujo, según una proyección cilíndrica oblicua, se denomina perspectiva caballera.
Esta perspectiva se fundamenta en el uso de un triedro trirrectángulo, cuyas trazas se toman como ejes (X, Y, Z) de referencia del sistema y de medida. Los ejes que expresan las magnitudes de altura Z y anchura X de una figura conservan sus dimensiones reales, por ser el plano ZOX paralelo o por estar formando parte del plano del cuadro. Sin embargo, el eje Y, perpendicular a dicho plano, expresa la profundidad, la cual se ve modificada aplicando un coeficiente de reducción para lograr que la representación gráfica del objeto transfiera la sensación de realidad de sus proporciones reales

CONCLUSIONES

·         Ojala haya quedado claro lo que di a entender en el anterior trabajo así que agradezco que haya tomado tiempo de leerlo comparando, que intente mostrar información diferente y más profunda del tema.

·         La teoría es esencial para nuestra clase para conocer al respecto del tema sin dudar del origen y la importancia que este deja al trabajar con el dibujo técnico.

·         Aprovechamos este tema para sacar toda la información necesaria para trabajar en el actual énfasis sobre axonometría e  isometría.

                                                                              Juan Sebastián Ramírez Cortes

                                                                                           Estudiante UIS Socorro